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5. Cómo usar el método FOIL para calcular un trinomio

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Para polinomios con un coeficiente líder no primo y un término constante, puede utilizar un procedimiento llamado el método de factoraje FOIL (a veces llamado el Método Británico). El método FOIL siempre funciona para la factorización de trinomios y es una herramienta muy útil si usted no puede envolver su cerebro en conjeturas y chequeos. Cuando el método FOIL falla, usted sabe con certeza que la cuadrática dada es primordial.

El método de factoraje FOIL requiere que usted siga los pasos requeridos para los binomios FOIL, sólo hacia atrás. Recuerde que cuando usted FALLA, usted multiplica el primer, exterior, interior, y los últimos términos juntos. Luego se combinan términos similares, que generalmente provienen de la multiplicación de los términos externos e internos.

Por ejemplo, para factor x2 + 3x – 10, siga estos pasos:

1. La expresión x2 + 3x – 10 no tiene un GCF cuando se descompone y se mira. El desglose tiene el siguiente aspecto: No hay factores comunes a todos los términos, por lo que la expresión no tiene GCF. Tienes que pasar al siguiente paso.
2. Multiplica el término cuadrático y el término constante, ten cuidado con los signos cuando hagas este paso. En este ejemplo, el término cuadrático es 1×2 y la constante es -10, por lo tanto
3. Los factores de los pares de -10×2 en los que cada término contiene una x son -1x y 10x, 1x y -10x, -2x y 5x, y 2x y -5x.
4. De esta lista, busque el par que se suma para producir el coeficiente del término lineal. Para este problema, la respuesta es -2x y 5x porque y -2x + 5x = 3x.
5. Divida el término lineal en dos términos, usando los números del Paso 4 como coeficientes.

La vida es más fácil a largo plazo si siempre se dispone primero el término lineal con el coeficiente más pequeño. Es por eso que ponemos el -2x delante del +5x.

1. Agrupe los cuatro términos en dos grupos de dos. Siempre ponga un signo más entre los dos grupos: (x2 – 2x) + (5x – 10).
2. Encuentre el GCF para cada conjunto y factorícelo. ¿Qué tienen en común los dos primeros términos? Una x. Si excluyes la x, tienes x(x – 2). Ahora, mira los segundos dos términos. Comparten un 5. Si factorizas el 5, tienes 5(x – 2). El polinomio se escribe ahora como x(x – 2) + 5(x – 2).
3. Encuentra el GCF de los dos nuevos términos, como puedes ver, (x – 2) aparece en ambos términos, así que es un GCF. Factoriza el GCF desde ambos términos (siempre es la expresión dentro de los paréntesis) hacia el frente y deja el resto de los términos dentro de los paréntesis. Así x(x – 2) + 5(x – 2) se convierte en (x – 2)(x + 5). El (x + 5) es el sobrante después de factorizar el GCF de (x-2).

A veces el signo tiene que cambiar en el Paso 6 para poder factorizar correctamente el GCF. Pero si no empiezas con un signo más entre los dos grupos, es posible que pierdas un signo negativo que necesites tener en cuenta hasta el final. Por ejemplo, en el factoraje x2 – 13x + 36, usted termina en el Paso 5 con el siguiente polinomio: x2 – 9x – 4x + 36. Cuando agrupas los términos, obtienes (x2 – 9x) + (-4x + 36). Factorizar la x en el primer conjunto y la 4 en el segundo conjunto para obtener x(x – 9) + 4(-x + 9). ¿Notan que el segundo grupo es exactamente lo opuesto al primero? Para que pueda pasar al siguiente paso, los sets deben coincidir exactamente. Para arreglar esto, cambie el +4 del medio a -4 y obtenga x(x – 9) – 4(x – 9). Ahora que coinciden, puede volver a tener en cuenta el factor.

Incluso cuando una expresión tiene un coeficiente de liderato además de 1, el método FOIL sigue funcionando. La llave inglesa viene sólo si en el Paso 2 no puedes encontrar ningún factor que se sume para darte el coeficiente lineal. En este caso, la expresión es primo. Por ejemplo, en 2×2 + 13x + 4, cuando multiplicas el término cuadrático de 2×2 y la constante de 4, obtienes 8×2. Sin embargo, ningún factor de 8×2 se suma a ser 13x, por lo que 2×2 + 13x + 4 es primo.