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5. Cómo funcionan los límites con las funciones

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

No todas las funciones están definidas en cada valor de x. Las funciones racionales, por ejemplo, no están definidas si el denominador de la función es 0. Puede usar un límite (que, si existe, representa un valor que la función tiende a aproximarse a medida que la variable independiente se acerca a un número dado) para mirar una función y ver qué haría si pudiera.

Para ello, observe el comportamiento de la función a medida que la variable x se acerca a los valores no definidos. Por ejemplo, esta función no está definida en x = 3:

Puede ver los valores de f(x) en x = 2, x = 2.9, x = 2.99, x = 2.999, y así sucesivamente. Luego puedes ver los valores de f(x) de nuevo desde el otro lado: x = 4, x = 3.1, x = 3.01, y así sucesivamente. Todos estos valores de f(x) están definidos, excepto x = 3.

Para expresar un límite en símbolos, escriba

que se lee como «el límite cuando x se acerca a c de f(x) es L». L es el límite que estás buscando. Para que exista el límite de una función, el límite izquierdo y el límite derecho deben existir y ser iguales:

• Un límite izquierdo de (x) es el valor que f(x) se aproxima cuando x se acerca a n a partir de valores inferiores a c (desde el lado izquierdo del gráfico).
• Un límite derecho de f(x) es exactamente lo contrario; es el valor que f(x) se aproxima cuando x se acerca a c a partir de valores mayores que c (desde el lado derecho del gráfico).

Si, y sólo si, el límite izquierdo es igual al límite derecho, se puede decir que la función tiene un límite para ese valor particular de c.

Matemáticamente, dejarías que f fuera una función y que c y L fueran números reales. Entonces

exactamente cuándo

En el lenguaje del mundo real, esta configuración significa que si usted toma dos lápices, uno en cada mano, y comienza a trazar a lo largo del gráfico de la función en medidas iguales, los dos lápices tendrían que encontrarse en un punto en el centro para que el límite exista. (La figura muestra que aunque la función no está definida en x = 3, el límite existe cuando x se acerca a 3.)

Búsqueda gráfica del límite de una función.

Para las funciones que están bien conectadas, los lápices siempre se encuentran eventualmente en un punto en particular (en otras palabras, siempre existiría un límite). Sin embargo, a veces no lo hacen (como puede ver en la figura cuando x se acerca a -5). La función de paso de unidad popular se define como f(x) = 0 para

y f(x) = 1para x > 0. Si dibuja esta función, verá un salto de paso de unidad en x = 0.