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- Cómo funciona la integración: Es sólo una adición de lujo
El significado más fundamental de la integración es sumar. Y cuando se representa la integración en un gráfico, se puede ver el proceso de suma como una suma de delgadas franjas rectangulares de área para llegar al área total por debajo de esa curva, como se muestra en esta figura.
Puede calcular el área sombreada en la figura anterior utilizando esta integral:
(Nótese que todo aquí implica una integración definitiva en lugar de una integración indefinida. La integración definitiva es cuando el símbolo de integración S alargado tiene límites de integración: las dos pequeñas constantes o números en la parte inferior y superior del símbolo. La S alargada sin límites de integración indica una integral indefinida o antiderivada.)
Mira el delgado rectángulo de la figura. Tiene una altura de f(x) y un ancho de dx (un poco de x), por lo que su área (longitud por ancho, por supuesto) viene dada por f(x) – dx. La integral anterior le dice que sume las áreas de todas las tiras rectangulares estrechas entre a y b bajo la curva f(x). A medida que las tiras se hacen más y más estrechas, se obtiene una mejor y mejor estimación del área. El poder de la integración reside en el hecho de que le da el área exacta mediante la suma de un número infinito de rectángulos infinitamente delgados.
Independientemente de lo que sean los bits diminutos que estés sumando – podrían ser pequeños bits de distancia o volumen o energía (o sólo área) – puedes representar la suma como una suma de las áreas de tiras rectangulares delgadas debajo de una curva. Si las unidades en los ejes x e y son unidades de longitud, digamos, pies, entonces cada rectángulo delgado mide tantos pies por tantos pies, y su área -longitud por anchura- es un número de pies cuadrados. En este caso, el área total de todos los rectángulos entre a y b le da una respuesta de área (aunque no necesariamente el área real bajo la curva porque la escala puede ser diferente; por ejemplo, el área sombreada real en la figura anterior es de unas pocas pulgadas cuadradas, pero su respuesta podría ser un número de millas cuadradas si ambos ejes estuvieran marcados en millas). El punto es que en este caso, sumas las áreas de todos los rectángulos y obtienes una respuesta de área. Por lo general, sin embargo, aunque usted sume las áreas de rectángulos, su respuesta no será una respuesta de área.
Digamos que las unidades en el eje x son horas (t) y el eje y está marcado en millas por hora, entonces, debido a que la tarifa por tiempo es igual a la distancia, el área de cada rectángulo representa una cantidad de distancia y el área total le da la distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo dado. O si el eje x se etiqueta en horas (t) y el eje y en kilovatios de energía eléctrica – en cuyo caso la curva, f(t), da el uso de energía en función del tiempo – entonces el área de cada tira rectangular (kilovatios por hora) representa un número de kilovatios-hora de energía. En ese caso, el área total bajo la curva le da el número total de kilovatios-hora de consumo de energía entre dos puntos en el tiempo.
Otra posibilidad es ilustrada por la lámpara de arriba. Digamos que quieres calcular el volumen de la base de la lámpara. La siguiente figura muestra cómo lo haría con la integración. En el gráfico, la función A(x) indica el área de la sección transversal de una fina porción de tortita de la lámpara en función de su altura medida desde la parte inferior de la lámpara. Así que esta vez, el eje h se etiqueta en pulgadas (es decir, h como en altura desde la parte inferior de la lámpara), y el eje y se etiqueta en pulgadas cuadradas, y por lo tanto cada rectángulo delgado tiene un ancho medido en pulgadas y una altura medida en pulgadas cuadradas. Su área, por lo tanto, representa pulgadas por pulgadas cuadradas, o pulgadas cúbicas de volumen.
le da el volumen de la base de la lámpara.»/>Este área sombreada le da el volumen de la base de la lámpara.
El área del delgado rectángulo en esta figura representa el volumen de la porción delgada de panqueque de la lámpara a 5 pulgadas de la parte inferior de la base.
El área sombreada total y por lo tanto el volumen de la base de la lámpara viene dada por la siguiente integral:
Volumen = (área de la sección transversal) veces (espesor)
Esto significa que se suman los volúmenes de todas las rebanadas finas de panqueques de 0 a 15 pulgadas (es decir, desde la parte inferior hasta la parte superior de la base de la lámpara), cada una de las cuales tiene un volumen dado por A(h) (su área de sección transversal) veces dh (su altura o grosor).
En resumen, la expresión matemática a la derecha de cualquier símbolo de integración definido siempre representa un poco de algo, e integrar tal expresión significa sumar todas las pequeñas piezas entre un punto de partida y un punto final para determinar el total entre los dos puntos.