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5. Cómo calcular un intervalo de confianza para una media de población con una desviación estándar desconocida y/o un tamaño de muestra pequeño

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Por Deborah J. Rumsey

Se puede calcular un intervalo de confianza (IC) para la media, o promedio, de una población incluso si la desviación estándar es desconocida o si el tamaño de la muestra es pequeño. Cuando una característica estadística que se está midiendo (como los ingresos, el coeficiente intelectual, el precio, la altura, la cantidad o el peso) es numérica, la mayoría de las personas desean estimar el valor medio (promedio) de la población. Estima la media de la población,

utilizando una media de muestreo,

más o menos un margen de error. El resultado se llama un intervalo de confianza para la media de la población,

En muchas situaciones, usted no sabe

por lo que se estima con la desviación estándar de la muestra, s; y/o el tamaño de la muestra es pequeño (menos de 30), y no se puede estar seguro de que los datos provengan de una distribución normal. (En este último caso, no se puede utilizar el Teorema del Límite Central.) En cualquier situación, ya no se puede utilizar un valor z* de la distribución normal estándar (Z-) como valor crítico; se tiene que utilizar un valor crítico más grande que ese, debido a que no se sabe qué

es y/o que tiene menos datos.

La fórmula para un intervalo de confianza para una población media en este caso es la siguiente

es el valor t* crítico de la distribución t con n – 1 grados de libertad (donde n es el tamaño de la muestra).

Los valores t* de los niveles de confianza comunes se encuentran en la última fila de la tabla t anterior.

La distribución t tiene una forma similar a la distribución Z, excepto que es más plana y más extendida. Para valores pequeños de n y un nivel de confianza específico, los valores críticos en la distribución t son mayores que en la distribución Z, por lo que cuando utilice los valores críticos de la distribución t, el margen de error para su intervalo de confianza será mayor. A medida que los valores de n aumentan, los valores de t* se acercan a los valores de z*.

Para calcular un IC para la media de la población (promedio), en estas condiciones, haga lo siguiente:

1. Determine el nivel de confianza y los grados de libertad y luego encuentre el valor t* apropiado.
2. Encuentre la media de la muestra y la(s) desviación(es) estándar de la muestra.
3. Multiplica t* por s y divídelo por la raíz cuadrada de n. Este cálculo te da el margen de error.
4. El extremo inferior de la IC es menos el margen de error, mientras que el extremo superior de la IC es más el margen de error.

Por ejemplo, supongamos que usted trabaja para el Departamento de Recursos Naturales y desea estimar, con una confianza del 95%, la longitud media (promedio) de todos los alevines de leucemia en un estanque de incubación de peces. Se toma una muestra aleatoria de 10 alevines y se determina que la longitud promedio es de 7.5 pulgadas y la desviación estándar de la muestra es de 2.3 pulgadas.

1. Dado que desea un intervalo de confianza del 95%, determine el valor t* de la siguiente manera: El valor t* proviene de una distribución t con 10 – 1 = 9 grados de libertad. Este valor t* se encuentra mirando la tabla t. Busque en la última fila donde se encuentran los niveles de confianza y encuentre el nivel de confianza del 95%; esto marca la columna que necesita. A continuación, busque la fila correspondiente a df = 9. Interseca la fila y la columna, y encontrarás t* = 2.262. Este es el valor t* para un intervalo de confianza del 95% para la media con un tamaño de muestra de 10. (Observe que es mayor que el valor z*, que sería 1,96 para el mismo intervalo de confianza.)
2. Usted sabe que la longitud promedio es de 7.5 pulgadas, la desviación estándar de la muestra es de 2.3 pulgadas y el tamaño de la muestra es de 10 pulgadas. Esto significa
3. Multiplica 2.262 veces 2.3 dividido por la raíz cuadrada de 10. El margen de error es, por lo tanto,
4. Su intervalo de confianza del 95% para la longitud media de todos los alevines de leucemia en este estanque de incubación es (El extremo inferior del intervalo es 7.5 – 1.645 = 5.86 pulgadas; el extremo superior es 7.5 + 1.645 = 9.15 pulgadas).

Note que este intervalo de confianza es más amplio de lo que sería para un tamaño de muestra grande. Además de tener un valor crítico mayor (t* frente a z*), el menor tamaño de la muestra aumenta el margen de error, porque n está en su denominador. Con un tamaño de muestra más pequeño, no se dispone de tanta información para «adivinar» la media de la población. Por lo tanto, manteniendo una confianza del 95%, se necesita un intervalo más amplio del que se necesitaría con un tamaño de muestra más grande para tener un 95% de confianza en que la media de la población caiga en el intervalo.

Después de calcular un intervalo de confianza, asegúrese de interpretarlo siempre en palabras que un no estadístico pueda entender. Es decir, hablar de los resultados en términos de lo que la persona en el problema está tratando de averiguar – los estadísticos lo llaman interpretar los resultados «en el contexto del problema». En este ejemplo se puede decir: «Con un 95% de confianza, la longitud promedio de los alevines de leucemia en este estanque de incubación es de entre 5.86 y 9.15 pulgadas, basado en los datos de mi muestra.» (Asegúrese siempre de incluir las unidades apropiadas.)